ようとする

Attempt to
Plain volitional “よう” form + とする

ようとする is formed from the volitional (Intent) form of a verb. It literally means something like “Act with intent” in other words “Attempt to“. It does not imply failure.
The 2 main usages of ようとする are:

1. Make an effort to do something.
2. Be about to do

Effort

This meaning tends to be in the form of ようとする, ようとしている, or ようとしても

• バッタを捕まえようとする子供 – Kids that attempt to catch a grasshoppers.
• 頑張ろうとしている学生 – A student attempting to work hard.
• 来年アメリカに行こうとしている人 – A person making an effort to go to America next year. 
• ドアを開けようとしたけど、びくともしなかった. – I tried to open the door but it wouldn’t budge.

Additonal Reading (Japanese)

About to

This meaning tends to be in the form of: ようとしたら、ようとしている

• 飛び出そうとしている – About to jump out (Wild Pokemon encounter line)
• 帰ろうとしたら、ボッスに止められた – I was about to go home when my boss stopped me.
• 言いようとしたら、彼が逃げ出した – When I was about to say it/trying to say it, he ran away.

Additional Reading (Japanese)

Intransitive Verbs

Although slightly weird from an English point of view, ようとする may also be used with intransitive, state verbs. This is quite common. It simply means “about to” in this usage. 
始まる and 終わる are the most common intransitive verbs to use this pattern. 
This is typically used about events. 

• 始まろうとしている – It is about to begin. 
• 試合が終わろうとしている – The match is coming to an end.

ようとしない

Not make an attempt
Plain volitional form + としない
Plain volitional form + ともしない

The negative form of ようとする, ようとしない means “to not even make an attempt”. 
It is quite disparaging and judgmental. This pattern may also use も to become an even stronger version; ようともしない 

• 勉強しようとしない – Doesn’t try to study.
• 学ぼうともしない – Doesn’t even try to learn
• 食べようとしない – Doesn’t try to eat. 
• 日本語を使おうともしない – Won’t even try to use Japanese.