決して + ない

Definitely don’t/Definitely not
けして ＋ Negative sentence
Nouns/な Adjectives: けして＋ではない

決して (けっして）comes from 決する (To decide), and is another one of those negative only adverbs.
けして＋ない literally means something like “resolve to not“, and strongly communicates “definitely not/ don’t/won’t“. It is stronger than 絶対に.
Due to how strong it is, you should use it sparingly, when you really want to stress what you’re saying.

Because it is a strong negative, it tends to be used with other prohibitive grammar, like てはいけない.
けして+忘れない are also frequently used together.
な Adjectives and Nouns must use ではない instead of じゃない.

Examples

Verbs

• 決して触れてはいけない – You definitely shouldn’t touch that. (Definitely don’t touch that).
• 彼女のことは決して忘れない – I definitely won’t forget her.
• 何を言っても、彼女には決して届かない – No matter what you say, it definitely won’t reach her.
• 何があっても、決して見ないでください – No matter what happens, definitely don’t look.
• 殺人犯は決して逃がさない – I definitely won’t let the murderer get away.
• 決して入ってはいけないところだ – A place you definitely shouldn’t go in.
• 決して忘れるな – Don’t you dare forget.
• 何をしても、彼は決して勉強しない – No matter what you do, he definitely won’t study.
  
  

Nouns/Na Adjectives

• 決していい人ではない – He’s definitely not a good person.
• 決して暇ではない – Definitely not free (not busy). 
• 決して遊んでいるわけではない。- Its definitely not like I’m playing. 
• 彼は決して人間ではない – He’s definitely not human.
  
  

い Adjectives

• 彼は決して優しくない – He’s definitely not nice.
• 彼は決して弱くないが、強くもない – He’s definitely not weak, but he’s not strong either.
• 決して忙しくない – Definitely not busy.
  
  

けっして or けして

けっして may alternatively be pronounced as けして. Both are correct, although けっして is normally preferred (Source)